☛ Dérivée d'une fonction composée avec cosinus et sinus

Propriété

Soit \(u\)  une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) ,  alors les fonctions \(\cos(u)\)  et \(\sin(u)\)  sont dérivables sur \(I\)  et on a :

• \((\cos(u))^{\prime}=-u^{\prime}\sin(u)\)
  
• \((\sin(u))^{\prime}=u^{\prime}\cos(u)\) .
  

Démonstration

Il s'agit d'un cas particulier de la propriété sur la dérivée d'une composée.
Par exemple,  \(\cos(u)=v \circ u\)  où  \(v\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)  par  \(v(x)=\cos(x)\) .
Pour tout réel \(x\) , on a \(v'(x)=-\sin(x)\) .
Enfin  \((v \circ u)^{\prime}=u' \times (v' \circ u)\) d'où le résultat.

 Énoncé

On considère la fonction `f`  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=\cos(x^2+1)\) . Calculer \(f'(x)\) .

Solution

\(f\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\) .
On pose  \(u\) tel que \(u(x)=x^2+1\) alors \(u'(x)=2x\) .
\(f'(x)=-2x\sin(x^2+1)\) .